Isomorfisma Graf

Dalam geometri, dua gambar disebut kongruen jika keduanya mempunyai sifat-sifat geometri yang sama. Dengan cara yang sama, dua graf disebut isomorfis jika keduanya menunjukkan "bentuk" yang sama. Kedua graf hanya berbeda dalam hal pemberian label titik dan garisnya saja. Secara matematis, isomorfisma 2 graf didefinisikan dalam contoh berikut :

Misalkan G adalah suatu graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan garis E(G). G' adalah graf dengan himpunan titik V(G') dan himpunan garis E(G').

G isomorfis dengan G' bila dan hanya bila ada korespondensi satu-satu

•V(G) → V(G') dan

•E(G) → E(G')

Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya 

Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda.  Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara. Contoh :

Hingga saat ini belum ada teori yang dapat dipakai untuk menentukan apakah dua graf G dan G' isomorfis. Akan tetapi, jika G dan G' isomorfis, maka terdapat beberapa hal yang pasti dipenuhi:

• —jumlah titik G = jumlah titik G'
• —jumlah garis G = jumlah garis G'
• —jumlah garis dengan derajat tertentu dalam G dan G' sama.

Masalahnya, implikasi tersebut tidak berlaku 2 arah. Ada 2 graf yang memenuhi ketiga syarat tersebut, tetapi keduanya tidak isomorfis. Sebagai contoh adalah graf G dan G' pada Gambar ini :

                            G                                     G'
Dalam G, satu-satunya titik yang berderajat 3 adalah titik x. Titik x dihubungkan dengan 2 titik lain yang berderajat 1 (titik y dan z).

Sebaliknya, dalam G', satu-satunya titik yang berderajat 3 adalah v. Satu-satunya titik berderajat 1 yang dihubungkan dengan v hanyalah titik w, sehingga G tidak mungkin isomorfis dengan G'.

Sub Graf

Konsep subgraf sama dengan konsep himpunan bagian. Dalam teori himpunan, himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian B bila dan hanya bila setiap anggota A merupakan anggota B. Karena graf merupakan himpunan yang terdiri dari titik dan garis maka H dikatakan subgraf G jika semua titik dan garis H juga merupakan titik dan garis dalam G. Secara formal, subgraf didefinisikan seperti di bawah ini :

Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan subgraf G bila dan hanya bila:

• V (H) ⊆ V (G)
• E (H) ⊆ E (G)

Setiap garis dalam H mempunyai titik ujung yang sama dengan garis tersebut dalam G.

Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang dapat diturunkan :—Sebuah titik dalam G merupakan subgraf G
—Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya sendiri
—Dalam subgraf berlaku sifat transitif : Jika H adalah subgraf G dan G adalah subgraf K, maka H adalah subgraf K. Dalam graf Gambar 15 (a) - (b) di bawah ini

                                 

 

:H merupakan SubGraf G:

:H bukan merupakan SubGraf dari G;

Kriptografi Klasik

Kriptografi,  secara  umum  adalah  ilmu dan  seni  untuk  menjaga  kerahasiaan  berita [bruce Schneier - Applied Cryptography. Dalam  kriptografi,  pesan  atau  informasi yang  dapat  dibaca  disebut  sebagai  plaintext atau clear text. Proses  yang dilakukan untuk mengubah plaintext  ke  dalam  ciphertext  disebut  enkripsi.  Pesan  yang tidak  dapat terbaca  tersebut  disebut  ciphertext.  Proses yang  merupakan kebalikan dari  enkripsi disebut  sebagai  dekripsi.  Proses  ekripsi dapat  digunakan untuk  membuat  ciphertext kembali menjadi plaintext. Ahli  di  bidang  kriptografi  disebut sebagai cryptographer. Cryptanalyst merupakan orang yang melakukan cryptanalysis,  yaitu seni  dan ilmu  untuk memecahkan ciphertext  menjadi  plaintext tanpa melalui cara yang seharusnya. Sebelum komputer ada, kriptografi dilakukan dengan menggunakan pensil dan kertas. Algoritma kriptografi (cipher) yang digunakan saat itu, dinamakan juga algoritma klasik, adalah berbasis karakter, yaitu enkripsi dan dekripsi dilakukan pada setiap karakter pesan. Semua algoritma klasik termasuk ke dalam sistrm kriptografi simetris dan digunakan jauh sebelum kriptografi kunci publik ditemukan.

Kriptogarfi klasik memiliki beberapa ciri :

1.      Berbasis karakter

2.      Menggunakan pena dan kertas saja, belum ada computer

3.      Termasuk ke dalam kriptografi kunci simetris.

Tiga alasan mempelajari algoritma klasik :

1.      Memahami konsep dasar kriptografi

2.      Dasar algoritma kriptografi modern
3.   Memahami kelemahan sistem kode

Pada dasarnya, algoritma kriptografi klasik dapat dikelompokkan ke dalam dua macam cipher, yaitu :

1.    Cipher substitusi (substitution cipher)

Di dalam cipher substitusi setiap unit plainteks diganti dengan satu unit cipherteks. Satu “unit” di isini berarti satu huruf, pasanga huruf, atau dikelompokkan lebih dari dua huruf. Algoritma substitusi tertua yang diketahui adalah Caesar cipher yang digunakan oleh kaisar Romawi , Julius Caesar (sehingga dinamakan juga casear cipher), untuk mengirimakan pesan yang dikirimkan kepada gubernurnya.

2.    Cipher transposisi (transposition cipher)

    Pada cipher transposisi, huruf-huruf di dalam plainteks tetap saja, hanya saja urutannya diubah. Dengan kata lain algoritma ini melakukan transpose terhadap rangkaian karakter di dalam teks. Nama lain untuk metode ini adalah permutasi atau pengacakan (scrambling) karena transpose setiap karakter di dalam teks sama dengan mempermutasikan karakter-karkater tersebut. (Munir.2006)

Jenis Kriptografi Klasik

Vigènere cipher

Vigenere cipher mungkin adalah contoh terbaik dari cipher alphabet-majemuk ‘manual’. Algoritma ini dipublikasikan oleh diplomat (sekaligus seorang kriptologis) perancis, Blaise de Vigènere pada abad 16. Vigènere cipher dipublikasikan pada tahun 1586. Cipher ini berhasil dipecahkan oleh Babbage dan Kasiski pada pertengahan abad 19. Vigènere cipher digunakan oleh tentara Konfiderasi (Confederate Army) pada perang sipil Amerika (American Civil war).

Vigènere cipher sangat dikenal karena mudah dipahami dan diimplementasikan. Cipher menggunakan bujursangakar Vigènere untuk melakukan enkripsi. Kolom paling kiri dari bujursangkar menyatakan huruf-hurf kunci, sedangkan baris paling atas menyatakan huruf-huruf plainteks. Setiap baris dalam bujursangkar menyatakan huruf-huruf cipherteks, yang mana jumlah pergesaran huruf plainteks ditentukan nilai numerik huruf kunci tersebut ( yaitu, A = 0, B = 1, C = 2,…, Z = 25). Bujursangkar vigènere digunakan untuk memperoleh cipherteks dengan menggunakan kunci yang sudah ditentukan. Jika panjang kunci lebih pendek dari pada panjang plainteks, maka kunci diulang penggunaanya (sistem periodik). Bila panjang kunci adalah m, maka periodenya dikatakan m. sebagai contoh, jika plainteks adalah THIS PLAINTEXT dan kunci adalah sony maka penggunaan kunci secara periodik adalah sebagai berikut:

         Plainteks      : THIS PLAINTEXT

         Kunci          : SONY SONYSONYS

         Cipherteks   : LVVQ HZNGFHRVL

Autokey Cipher

Kriptografi Autokey adalah pengembangan dari kriprografi Caesar dan Vigenere. Cara  melakukan enkripsi sama seperti kedua  kriptografi  sebelumnya. Pada kriptografi  Autokey  juga  digunakan sebuah kata sebagai kunci. Kunci ini kemudian diikuti dengan plaintext sehingga  membentuk  huruf-huruf yang sama panjang dengan plaintext. Urutan huruf-huruf ini yang akan digunakan sebagai kunci pada saat  enkripsi. Rumus yang berlaku  untuk  kriptografi Autokey sama seperti Caesar dan Vigenere.

Contoh, jika plaintext adalah INI PESAN RAHASIA, maka jika kita gunakan kunci kata BESOK, maka kata BESOK akan disisipkan di depan plaintext INI PESAN RAHASIA. Kemudian enkripsi dilakukan sama dengan enkripsi Caesar dan Vigenere.

 Reverse Cipher

Ini aadalah contoh kriptografi klasik yang menggunakan substitusi yaitu mengganti satu huruf dengan  huruf  lain ataupun mengubah suatu kalimat dengan menuliskan setiap kata secara terbalik. Ini contoh yang paling sederhana dari transposisi yaitu mengubah suatu kalimat dengan menuliskan setiap kata secara terbalik. Contoh Kriptografi Reverse:

Plaintext    : AKU AKAN PERGI BESOK PAGI

Ciphertext : UKA NAKA IGREP KOSEB IGAP

Pada kriptografi kolom (column cipher), plaintext disusun dalam kelompok huruf yang terdiri dari beberapa huruf. Kemudian huruf-huruf  dalam kelompok ini dituliskan kembali kolom per kolom, dengan urutan kolom yang bisa berubah-ubah. Contoh Kriptografi Kolom:

Kalimat ‘ AYAH SUDAH TIBA KEMARIN SORE ’, jika disusun dalam kolom 7 huruf, maka akan menjadi kolom - kolom berikut :

AYAHSUD
AHTIBAK

EMARINS

OREAAAA

Untuk melengkapi kolom terakhir agar berisi 7 huruf, maka sisanya diisi dengan huruf ‘A’atau bisa huruf apa saja sebagai huruf pelengkap. Kalimat tesebut setelah dienkripsi dengan 7 kolom huruf dan urutan kunci 6725431, maka hasil enkripsinya:

DKSAATAEUANASBIAHIRAAAEOYHMR

Zig-Zag Cipher

Pada  kriptografi  kolom  zig-zag, plaintext  disusun  dalam  kelompok  huruf yang  terdiri  dari beberapa huruf. Kemudian huruf-huruf dalam uruta kolom yang dimasukkan secara pola zig-zag.

Segitiga Cipher

Pada kriptografi  kolom Triangle, plaintext disusun  dalam  kelompok huruf yang terdiri dari  beberapa huruf. Kemudian huruf-huruf dalam urutan kolom yang dimasukkan secara pola segitiga.

Super Enkripsi

Kombinasi Antara Cipher Substitusi (Caesar Cipher) dan Cipher Tranposisi (Column Cipher). Sehingga memperoleh Cipher yang lebih kuat (Super) dari pada Satu Cipher saja.

Enigma Machine

Enigma Machine adalah mesin yang digunakan Jerman selama Perang Dunia II untuk mengenkripsi/dekripsi pesan-pesan militer. Enigma menggunakan sistem rotor(mesin berbentuk  roda  yang  berputar) untuk membentuk huruf  cipherteks  yang berubah - ubah. Setelah setiap huruf  dienkripsi, rotor kembali berputar untuk membentuk huruf cipherteks yang baru.

Bedah Jurnal -> White Inspiration

Semenjak diturunkannya publikasi Karya Ilmiah oleh DIKTI atau Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi , sebagian besar kegiatan tatap muka perkuliahan diisi ama yang namanya jurnal ilmiah. Hoosh, ampun dah...... selaen skripsi ada lagi nih kewajiban yang harus dikerjakan. Serasa bagai petir di hari yang cerah ( aseeek ), berbagai macam jurnal dalam 1 mata kuliah yang sama bener - bener ngebuat aq pusing. Dalem ati sempet mikir "apa sih tujuannya ini proses bedah?", memperdalam teori? ngapain harus bedah jurnal, kita bisa aja pake cara super simple ala anak muda sekarang ( buka web browser - googgle - keyword - klik, klik, taraaa... u get it ). Tentunya dengan pemahaman materi yang kita cari, kawan......

Setelah semua proses bedah terlewati dalam diskusi, si Pak Dosen ngasih aku White Inspiration. "Di setiap jurnal ilmiah ada bab berisi kesimpulan dan saran. Dari situlah kalian bisa dapat ide pembuatan jurnal, dari kekurangan atau saran yang diberikan dapat kalian pakai dalam pembuatan jurnal kalian.". Potongan perkataan Pak dosen inilah yang ngebuat aku bahagia. Inspirasi yang datang di waktu yang tepat, di tempat yang tepat, dan di situasi yang tepat, inilah yang aku namakan White Inspiration. Tapi, g semudah itu kawan!! kembali lagi sama pemahaman kita terhadap materi atau bahan kajian yang dipakai.

Let's learn, guys......

Supir Emak - Emak

Liburan kali ini benar - benar g bisa dihabiskan dengan bersantai dirumah. Pagi ini harusnya waktu bersama si bantal, guling dan kawan - kawan akan cukup lama. Tapi, emak penghuni rumah ngomel dan ngotot minta anterin shopping. Oke, karena aku punya sifat baik dan patuh ama si emak (hahaha), aku putuskan bergegas nyiapin diri buat nganterin emak.
Tiba - tiba, emak - emak lain ( yang katanya sobat bagai kepompong ) mulai berdatangan ke rumah, dalam hati  "ngapain kesini, emak penghuni rumah mau pergi woii". Oh, ternyata... emak penghuni rumah ini berkomplot membawa bala tentara buat bener - bener ngancurin weekendku. Ampun daah, sudah kayak supir yang nganterin majikan ama temen arisan, heboh cap cip cup entah ngomongin apaan, dan aku cuma bisa ngeliyatin rambu - rambu lalu lintas dan tanya kapan harus belok, lurus, ato berhenti.

Tapi, g seburuk itu kawan..!! Si emak - emak ini ternyata cukup ngerti juga ama supirnya. Setelah sekian lama nunggu mereka beli 12 jenis barang yang tiap barangnya ngebutuhin waktu paling nggak 3-5 menit buat berdebat untuk mufakat ( rapat kali mufakat..-,-" ). Alhasil, aku dapetin sekantong duit yang cukup buat ngisi perut, dapetin sepasang dress idaman, dan biaya ngbrol sama si do'i sepuasnya. Uhuuy, emak - emak ini keren.   Meskipun g bisa ngabisin waktu bersantai di rumah, jadi supir emak - emak pun tetep asyiik. :p